Question

已知△ABC，（1）如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°+ 1 2 ∠A；（2）

已知△ABC，（1）如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P=90°+ 1 2 ∠A；（2）如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P=90°-∠A；（3）如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P=90°- 1 2 ∠A．上述说法正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

Answer 1

（1）若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点， 则∠PBC= 1 2 ∠ABC，∠PCB= 1 2 ∠ACB 则∠PBC+∠PCB= 1 2 （∠ABC+∠ACB）= 1 2 （180°-∠A） 在△BCP中利用内角和定理得到： ∠P=180-（∠PBC+∠PCB）=180- 1 2 （180°-∠A）=90°+ 1 2 ∠A， 故成立； （2）当△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°时，结论不成立； （3）若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点， 则∠PBC= 1 2 ∠FBC= 1 2 （180°-∠ABC）=90°- 1 2 ∠ABC， ∠BCP= 1 2 ∠BCE=90°- 1 2 ∠ACB ∴∠PBC+∠BCP=180°- 1 2 （∠ABC+∠ACB） 又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A ∴∠PBC+∠BCP=90°+ 1 2 ∠A， 在△BCP中利用内角和定理得到： ∠P=180-（∠PBC+∠PCB）=180- 1 2 （180°+∠A）=90°- 1 2 ∠A， 故成立． ∴说法正确的个数是2个． 故选C．