Question

（2014?安庆三模）函数f（x）=x2（0＜x＜1）的图象如图所示，其在点M（t，f（t））处的切线为l，l与x轴和

（2014?安庆三模）函数f（x）=x2（0＜x＜1）的图象如图所示，其在点M（t，f（t））处的切线为l，l与x轴和直线x=1分别交于点P、Q，点N（1，0），设△PQN的面积为S=g（t）．（Ⅰ）求g（t）的表达式；（Ⅱ）若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个，求b的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由条件知点M（t，t²），f'（x）=2x，
则切线的斜率为k=f'（t）=2t，
由点斜式得l的方程为y-t²=2t（x-t），
当x=1时，y=2t-t²；当y=0时，x＝

t

2

，即P(

t

2

，0)，Q（1，2t-t²），
所以S=g（t）=

1

2

(1?

t

2

)(2t?t2)=

1

4

t(t?2)2(0＜t＜1)，
即g（t）=

1

4

t(t?2)2(0＜t＜1)．
（Ⅱ）g′(x)＝

1

4

(t?2)(3t?2)，
当t∈(0，

2

3

)时，g'（t）＞0，g（t）单调递增；
当t∈(

2

3

，1)时，g'（t）＜0，g（t）单调递减．
又g(

2

3

)＝

8

27

，g(1)＝

1

4

，g（0）=0，
所以要使△PQN的面积为b时的点M恰好有两个，
则函数g（t）的图象上的点M的纵坐标为b时，横坐标有两个，
从而b∈(

1

4

，

8

27

)．