Question

二次函数f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）（Ⅰ）若方程f（x）=0无实数根，求证：b＞0；（Ⅱ）若方程f（x）=0有

二次函数f（x）=x2+ax+b（a、b∈R）（Ⅰ）若方程f（x）=0无实数根，求证：b＞0；（Ⅱ）若方程f（x）=0有两实数根，且两实根是相邻的两个整数，求证：f（-a）=14(a2?1)；（Ⅲ）若方程f（x）=0有两个非整数实根，且这两实数根在相邻两整数之间，试证明存在整数k，使得|f（k）|≤14．

Answer 1

解答：证明：（Ⅰ）若方程f（x）=0无实根，则△=a²-4b＜0，即b＞

a2

4

，

a2

4

≥0，∴b＞0；
（Ⅱ）设两整根为x₁，x₂，x₁＜x₂，则

x1+x2＝?a x1x2＝b x2?x1＝1

；
∴a2?4b＝1，b＝

a2?1

4

；
∴f(?a)＝b＝

1

4

(a2?1)；
（Ⅲ）设m＜x₁，x₂＜m+1，m为整数，则：
a²-4b≥0，∴b≤

a2

4

；
（1）若?

a

2

∈(m，m+

1

2

]，即?

1

2

≤m+

a

2

＜0；
f（m）=m2+am+b≤m2+am+

a2

4

=(m+

a

2

)2≤

1

4

；
（2）若?

a

2

∈(m+

1

2

，m+1)，即0＜m+1+

a

2

＜

1

2

；
f（m+1）=（m+1）²+a（m+1）+b≤(m+1)2+a(m+1)+

a2

4

=(m+1+

a

2

)2＜

1

4

；
∴存在整数k，使得|f（k）|≤

1

4

．