Question

已知:如右图,在△ABC中,<BAC=90°,BD平分<ABC交AC于D,AE⊥BC于E交BD于G，FG//AC交BC于点F，连接DF

求证DF⊥BC

Answer 1

如图所示 延长GF交AB于H

∵FG∥AC

∴∠HBG=∠BAC=90°

∵AE⊥BC

 BD为∠ABC的角平分线 

∴HG=EG(角平分线性质）

在△HGA和△EGF中

∠AHG=∠FEG=90°

 GH=GE

∠HGA=∠EGF(对顶角相等）

∴△HGA全等于△EGF

∴HA=EF

在Rt△HGB和Rt△EGB中

∠HBG=∠EBG

BG=BG

∴Rt△HGB全等于Rt△EGB

∴BH=BE

∴AB=BH+HA=BF=BE+EF

在△ABD和△FBD中

AB=BF

∠HBG=∠EBG

BD=BD

∴△ABD全等于△FBD

∴∠DFB=∠BAD=90°

即DF⊥BC

Answer 2

证明：因为在直角三角形ABC中，∠C+∠ABC=90,
又,AE⊥BC
所以∠ABC+∠BAE=90
所以∠C=∠BAE,
因为FG//AC
所以∠BFG=∠C
所以∠BAG=∠BFG
因为∠ABG=∠EBG,BG为公共边
所以△ABG≌△BFG
所以AG=FG,∠BGA=∠BGF,
所以∠AGD=∠FGD
所以△AGD≌△FGD
所以∠GAD=∠GFD
所以∠GAD+∠BAG=∠GFD+∠BFG
即∠BAD=∠BFD
即DF⊥BC

Answer 3

hhghgghgh

追问

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