Question

高中数学高手请进，问一个关于映射、函数的定义域与值域的理论问题，在线等答案！望高手赐教！

是这个问题引发了我的思考。
下列说法错误的是：
A函数值域中的每一个值有定义域中的一个值与它对应
B函数的定义域是无限集则值域也是无限集
C定义域与对应关系确定后，函数值也就确定了
D若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素
先说说我的想法。我个人认为，严格来说，这四个选项都有点问题。A显然是不对的， 因为函数存在多对一的情况，所以不对。B也是有问题的，不如说函数y=0x，这个函数x取值范围是无限的，可是值域是有限的，只有一个0，这个函数并不违反规定，可是视为y=f（x），这个f为乘0；或者，比如取整函数y=[x]，我另其定义域为(1,5),为无限集，可是值域只有{2,3,4}三个元素，也是有限集，所以B不对。C选项就涉及到定义的问题了，课本上说函数就是两个非空数集A、B之间的映射，可以一对一，也可以多对一，A中的每一个元素在B中有唯一与之对应的元素，而B中可以有剩余元素，即A中可以没有元素与B中的元素想对应。这样问题就来了，我们平时在求函数的值域时，都是根据其定义域求的，定义域和对应关系确定了，值域也就求出来了，但是如果按照值域这样的规定，那么就可以投机取巧了：只要题中问值域，我就可以答值域是R，因为若B为R，则A里面的元素的所有像必然被包括在B里，而B中其余的元素我就说没有原像，这是合乎规定的。所以，问题就是纠结于，我们把A集合成为定义域，B集合成为值域，这两个集合到底是怎么产生的？是先有A和对应法则，然后算出来的B呢，还是A、B两个集合就是各自独立没有关系的？如果按照书中的规定，我更倾向于后者，就是两者没有关系，可是如果这样，就无法避免值域的不可求性，可以钻空子了。严谨的数学是不允许有这样的空子的！而D选项如果按照规定，也无疑使错误的。关键就在于A和B究竟是什么关系。这个问题困扰了我好久，我希望能得到高中老师或者大学教授的耐心回答，先行谢过大家了！

Answer 1

……BCD都是错的……A勉强可以算对……

Answer 2

正确的是C
请注意：B并不是这个函数的值域，我们讲的值域是集合B中存在原象的那部分的元素组成的一个集合，这个集合是B的子集合。请仔细阅读课本中关于值域的定义。 点点外婆

Answer 3

函数是映射，映射不一定是函数！值域中的每一个值都是定义域通过对应法则得来的……高中时老师总是强调值域(3,5)与【3,5】不是一回事，要注意……

Answer 4

B是错的。反例：x∈(-∞，+∞)时，f(x)=sign(x)∈{-1,1}，值域是有限集

追问

这位高手，相必你一定学过高数了。我也学过了。只是你的说法太过简单了，呵呵，这样的例子我们都能想出不少来，我也提到了两个例子。但是你还没有帮助我解决所有的问题，呵呵，不过依然谢谢你。

Answer 5

选B