Question

平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于A、B两点（点A在点B左侧），与 轴交于点C，点A、C的坐标分别为（-3,

平面直角坐标系中，抛物线 交 轴于A、B两点（点A在点B左侧），与 轴交于点C，点A、C的坐标分别为（-3,0），（0,3），对称轴直线 交 轴于点E,点D为顶点.（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AC下方的抛物线上一点，且 ,，求点P的坐标；（3）点M是第一象限内抛物线上一点，且∠MAC=∠ADE，求点M的坐标.





Answer 1

（1）y=-x 2 -2x+3；（2）（-4，-5）或（1，0）；（3）（ ， ）．

试题分析：（1）由已知中点A、C的坐标分别为（-3，0），（0，3），对称轴为直线x=-1，得出B点坐标，进而利用交点式求出即可求出抛物线的解析式； （2）由已知中C点坐标，再假设出P点坐标，可求出直线PC解析式，求出R点坐标，进而根据S △PAC =2S △DAC ，可得点P的坐标； （3）过点C作CH⊥DE交DE于点H，设AC交对称轴于点G，AM交y轴于点N，由∠MAC=∠ADE，可得N点坐标，进而求出CN的方程，联立直线与抛物线方程可得M点坐标． （1）由对称轴x=-1，A（-3，0），可得B点坐标（1，0） 设y=a（x+3）（x-1），把C（0，3）代入得，4=-8a， 解得：a=-1， 所求解析式为：y=-x 2 -2x+3； （2）如图：y=-x 2 -2x+3=-（x+1） 2 +4，顶点D（-1，4）， 由A（-3，0）、C（0，3），得直线AC解析式为y=x+3； 设对称轴交AC于点G，则G（-1，2），∴S △DAC = （4-2）×3=3， 设P点（m，-m 2 -2m+3）， 设PC解析式为：y=qx+p， ∴ ， 解得：k=-m-2， ∴PC解析式为：y=（-m-2）x+3， 设PC与x轴交于点R， ∴R（ ，0）， ∴AR=3+ ， ∴S △APR +S △CAR = （3+ ）×（m 2 +2m-3）+ ×（3+ ）×3= + ， 则S △PAC = + ， 由S △PAC =2S △DAC ，∴ + =2×3， 解得：m 1 =-4，m 2 =1， 把m 1 =-4，m 2 =1分别代入y=-x 2 -2x+3中， ∴y 1 =-5，y 2 =0， ∴P点坐标为（-4，-5）或（1，0）； （3）由以上可得出：D（-1，4），C（0，3），E（-1，0）， 如备用图：过点C作CH⊥DE交DE于点H， ∴H（-1，3），CH=DH=1，∠DCH=∠HCA=∠CA0=45°， ∴CD= ，AC=3 ，△ACD为直角三角形，且tan∠DAC= ． 设AC交对称轴于点G，AM交y轴于点N， ∵∠DAC+∠ADE=∠DGC=45°，∠CAM+∠MAO=∠CAO=45°，∠ADE=∠CAM，∠DAC=∠MAO， ∴tan∠MAO= ． ∵A（-3，0）， ∴ON=1，即N（0，1）， 设直线CN解析式为：y=dx+h ∴ ， 解得： ， ∴直线CN解析式为y= x+1， 联立方程 得：x=-3（舍）或x= ， ∴点M的坐标为（ ， ）．