Question

如图：已知Rt△ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4，点E在AC上，E与A、C均不重合．（1）若点F在AB上，且EF平分△A

如图：已知Rt△ABC中∠C=90°，AC=3，BC=4，点E在AC上，E与A、C均不重合．（1）若点F在AB上，且EF平分△ABC的周长，设AE=x，用含x的代数式表示S△AEF；（2）若点F在折线ABC上移动，是否存在直线EF将Rt△ABC的周长与面积同时平分？若存在，求出AE的长，若不存在，请说出理由．

Answer 1

（1）过点F作FM⊥AC于M，
EF平分△ABC的周长，AE=x，所以可得AE+AF=CE+BC+BF，
即：x+AF=3-x+4+5-AF，解得AF=6-x．
由平行线分线段成比例定理可知，
AF：AB=FM：BC，即，6-x：5=FM：4，
解得FM=

24?4x

5

，
所以S_△AEF=

1

2

 × 

24?4x

5

 ?x=

12x?2 x2

5

（2）若EF存在，
①当F在AB上时，如图1，
则由（1）可知，S_△AEF=

12?2x2

5

=

1

2

 ×3×4×

1

2

=3，
化简得，2x²-12x+15=0，由△=12²-4×2×15=24＞0，
解得x₁=

6? 6

2

，x₂=

6+ 6

2

（不合题意舍去）．
即AE=

6? 6

2

．
②当F在BC上时，如图2，
CF+CE=AE+AB+BF，
即CF+3-x=x+5+4-CF，
CF=3+x，
根据面积平分得出S_△CFE=S_{四边形BFEA}=

1

2

S_△ACB=3，
即

1

2

×（3-x）×（3+x）=3，
解得：x₃=

3

，x₄=-

3

（舍去），
即存在直线EF将Rt△ABC的周长与面积同时平分，AE的长是

6? 6

2

或

3

．