Question

已知函数f(x)=alnx+x^2/2-(1+a)x(x>0),其中a为实数

已知函数f(x)=alnx+x^2/2-(1+a)x(x>0)，其中a为实数。
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）若函数f(x)≥0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

佟掌柜，你好~~（我也很喜欢武林外传的~）

言归正传，此题需用导数知识，您应该学了吧。不过我还是再提一下。【当然您也可直接跳过】

储备知识：
1.我们可用函数的导数来判断函数的增减性（单调性)的法则：
设y=f(x )在（a，b）内可导。
如果在（a，b）内，f'（x）>0,则f（x）在这个区间是单调增加的。
如果在（a，b）内，f'（x）<0，则f（x）在这个区间是单调减小的。

2. 【很显然，(Cu)’=Cu’ （C为常数）】★
另有常用导数表：【打星号★的为下面解题用得到的】
(x^n)’=nx^(n-1) ★
(a^x)’=a^xlna
(e^x)’=e^x（e是自然常数）
(log(a)x)’=log(a)e/x=1/xlnx【a是底数，x是真数】
(lnx)’=1/x★
……

解：1）f(x)=alnx+x^2/2-(1+a)x (x>0)
f’(x)=a/x+x-(1+a)
=【x²-(1+a)x+a】/x

设h(x)= x²-(1+a)x+a=(x-a)(x-1) （x＞0）
因为x＞0， 所以只需考察h(x)正负即可
接下来分类讨论。
①a＜0时，作出图像
在y轴右侧h(x)只有（0，1）一个交点
所以 x∈(0，1)时，h(x)＜0，f’(x)＜0，所以f(x)单调递减
x∈(1，+∞)时，h(x)＞0，f’(x)＞0，所以f(x)单调递增

同理②a=0时，
f’(x)=x-1
x∈(0，1)时，f(x)单调递减【理由同上】
x∈(1，+∞)时，f(x)单调递增

③0＜a＜1时
x∈(0，a)时，f(x)单调递增
x∈(a，1)时，f(x)单调递减
x∈(1，+∞)时，f(x)单调递增

④a=1时，
x∈(0，+∞)时，f(x)单调递增

⑤a＞1时
x∈(0，1)时，f(x)单调递增
x∈(1，a)时，f(x)单调递减
x∈(a，+∞)时，f(x)单调递增
【理由皆为f’(x)的正负】

2）做一下简单的判断：
a＞0时，x→0时，lnx→-∞，明显不成立
a=0时，f(x)=½x²-x，f(1)=-1/2＜0，显然不成立
所以a＜0
f(1)为最小值，只需f(1)≥0即可
f(1)=a•0+1/2-(1+a)≥0，a≤-1/2

所以a≤-1/2时，f(x)恒≥0（x＞0）

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Answer 2

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