Question

已知函数f（x）=alnx+1/2x^2-（a+1）x (x>0) a为实数

1·求函数f（x）的单调区间
2·若函数f（x）对定义域内的任意x恒成立 求a的取值范围
详解 谢谢了

Answer 1

解：（1）先求导：f'(x)=(a/x)+x-(a+1)，x>0，a为实数。
=[x^2-(a+1)x+a]/x
=[(x-a)(x-1)]/x
综合考虑到x>0，所以：
当a>=1时， 令f'(x)>0，解得0<x<1或x>a，
所以f(x)在0<x<1或x>=a为增函数，在1<=x<a为减函数。
当0<=a<1时，令f'(x)>0，解得：0<x<a或x>1，
所以f(x)在0<x<a或x>=1为增函数，在a<=x<1为减函数。
当a<0时，令f'(x)>0，解得：x>1，
所以f(x)在x>=1为增函数，在0<x<1为减函数。
（2）缺少条件。您修正题目后再解。

追问

2·若函数f（x）≥0 对定义域内的任意x恒成立 求a的取值范围
第一解中
当a>=1时， 令f'(x)>0，是怎么解得 0a，

当00，是怎么解得：01，

请详解

麻烦您了

追答

[(x-a)(x-1)]/x>0，这个不等式你们没学吗？左边有三个零点：0，a，1.

        要求解就要县讨论a与0和1的关系，无非就上面我写的那三种关系，就以当a>=1时为例，此时有

                     0<1<=a

       采用零点分析法解此不等式，（你画一根数轴，把0，1，a标上去，从右上方开始画类似正玄曲线，每过一个零点转一个方向，零点为奇数次幂就不穿，偶数此幂才穿，与数轴会形成几个闭合图形，在轴上方的为大于零的解，下方的为小于零的解。这种方法叫“奇穿偶不穿”，可能你们课堂上没讲这种不等式的解法类型了。这上面不好祥讲。）阴影部分就是解集。

     

 

第二问的话，只要满足f(x)的最小值比零大就行了，转换为求函数值域。

   同样分类讨论（因为根据a的不同范围有三种单调性）由单调性求最小值：

     当a>=1时，f(x)在0<x<1或x>=a为增函数，在1<=x<a为减函数。最小值可能为f(0)或f(a)，

             显然此时f(0)的极限值为无穷小，所以不合题意。

     同理当0<=a<1时也不合题意。

     当a<0时，可知最小值为f(1)=1/2-a-1=-a-1/2>=0，解得a<=-1/2.

综上可得所求为：a<=-1/2.