Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达B，C点），过D作∠ADE=45°，DE交AC于

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达B，C点），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数表达式；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：由图知和已知条件： ∵∠ADB=∠DAC+∠C=∠DAC+45°， ∴∠DEC=∠DAC+∠ADE=∠DAC+45°， ∴∠ADB=∠DEC； 又∵∠B=∠C， ∴△ABD∽△DCE． （2）解：由△ABD∽△DCE， ∴ ， ∵AB=2，BD=x，DC= ，CE=2﹣y代入得4﹣2y= ∴ ． （3）解：①若AE=DE，则DE⊥AC， ∵AD= ， ∴AE=DE=1， ②若AD=DE，由（1）条件知△ABD∽△DCE， ∴AB=DC，2= ，x= ，BD=CE，AE=2﹣CE= ， ∴∠ADE=45°， ∴COS∠ADE= ，代入得AD=DE= ． ③若AD=AE，则∠ADE=∠AED=45°，∠DAE=90°， 则AD≠AE．