Question

已知数列{an}中，a1=1，且满足递推关系an+1=2a2n+3an+man+1（m∈N*）（1）当m=1时，求数列{an}的通项an；

已知数列{an}中，a1=1，且满足递推关系an+1=2a2n+3an+man+1（m∈N*）（1）当m=1时，求数列{an}的通项an；（2）当m∈N*时，数列{an}满足不等式an+1≥an恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）m=1，由an+1＝

2an2+3an+1

an+1

，n∈N^*，
得：an+1＝

(2an+1)( an+1)

an+1

＝2an+1，
a_n+1+1=2（a_n+1），
∴{a_n+1}是以2为首项，公比也是2的等比例数列．
于是a_n+1=2?2^n-1，
∴a_n=2ⁿ-1．
（2）由a_n+1≥a_n，a₁=1，知a_n＞0，
∴

2an2+3an+m

an+1

≥an，
即m≥-a_n²-2a_n，
依题意，有m≥-（a_n+1）²+1恒成立．
∵a_n≥1，
∴m≥-2²+1=-3，
即满足题意的m的取值范围是[-3，+∞）．