Question

过点P（2，1）作直线l分别交x，y正半轴于A，B两点．（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程；（2）当|PA|

过点P（2，1）作直线l分别交x，y正半轴于A，B两点．（1）当△AOB面积最小时，求直线l的方程；（2）当|PA|?|PB|取最小值时，求直线l的方程．

Answer 1

（1）设所求的直线方程为

x

a

+

y

b

＝1（a＞0，b＞0），由已知

2

a

+

1

b

＝1．
于是

2

a

?

1

b

≤(

2 a + 1 b

2

)2=

1

4

，当且仅当

2

a

＝

1

b

＝

1

2

，即a=4，b=2时，取最大值，
即S△AOB＝

1

2

?ab取最小值4．
故所求的直线l的方程为

x

4

+

y

2

＝1，即x+2y-4=0．
（2）设直线l：y-1=k（x-2），分别令y=0，x=0，得A(2?

1

k

，0)，B(0，1?2k)．
则|PA|?|PB|=

(4+4k2)(1+ 1 k2 )

＝

8+4(k2+ 1 k2 )

≥4，
当且仅当k²=1，即k=±1时，|PA|?|PB|取最小值，又∵k＜0，
∴k=-1，这时l的方程为x+y-3=0．