Question

（2014?抚州）如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A′B′C′重合在一起，将三角板A′B′C′绕

（2014?抚州）如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A′B′C′重合在一起，将三角板A′B′C′绕其直角顶点C′按逆时针方向旋转角α（0＜α≤90°），有以下四个结论：①当α=30°时，A′C与AB的交点恰好为AB中点；②当α=60°时，A′B′恰好经过B；③在旋转过程中，存在某一时刻，使得AA′=BB′；④在旋转过程中，始终存在AA′⊥BB′，其中结论正确的序号是______．（多填或填错得0分，少填酌情给分）

Answer 1

∵直角三角板ABC和A′B′C′重合在一起，
∴AC=A′C，BC=B′C，
α=30°时，∠A′CB=60°，
∴A′C与AB的交点与点B、C构成等边三角形，
∴A′C与AB的交点为AB的中点，故①正确；
α=60°时，∠B′CB=60°，
∴A′B′恰好经过B，故②正确；
在旋转过程中，∠ACA′=∠BCB′=α，
∴△AA′C∽△BB′C，
∴

AA′

BB′

=

AC

BC

=

3

，
∴AA′=

3

BB′，故③错误；
∵∠CAA′=∠CBB′=

1

2

（180°-α），
∴AA′与BB′的夹角为360°-

1

2

（180°-α）×2-（90°+α）=90°，
∴在旋转过程中，始终存在AA′⊥BB′，故④正确；
综上所述，结论正确的是①②④．
故答案为：①②④．

Answer 2

∵直角三角板ABC和A′B′C′重合在一起，
∴AC=A′C，BC=B′C，
α=30°时，∠A′CB=60°，
∴A′C与AB的交点与点B、C构成等边三角形，
∴A′C与AB的交点为AB的中点，故①正确；
α=60°时，∠B′CB=60°，
∴A′B′恰好经过B，故②正确；
在旋转过程中，∠ACA′=∠BCB′=α，
∴△AA′C∽△BB′C，
∴
AA′
BB′
=
AC
BC
=
3
，
∴AA′=
3
BB′，故③错误；
∵∠CAA′=∠CBB′=
1
2
（180°-α），
∴AA′与BB′的夹角为360°-
1
2
（180°-α）×2-（90°+α）=90°，
∴在旋转过程中，始终存在AA′⊥BB′，故④正确；
综上所述，结论正确的是①②④．
故答案为：①②④．

Answer 3

1,2,4