Question

如图，P为60°的二面角α-l-β内一点，P到二面角两个面的距离分别为2、3，A、B是二面角的两个面内的动点

如图，P为60°的二面角α-l-β内一点，P到二面角两个面的距离分别为2、3，A、B是二面角的两个面内的动点，则△PAB周长的最小值为219219．

Answer 1

解答：解：如图，作出P关于两个平面α，β的对称点M、N，连接MN，
线段MN与两个平面的交点坐标分别为C，D，连接MP，NP，CP，DP，
则△PAB的周长L=PA+PB+AB=AM+AB+BN，当A与C重合，B与D重合时，
由两点之间线段最短可以得出MN即为△PAB周长的最小值，
根据题意可知：P到二面角两个面的距离分别为2、3，
∴MP=4，NP=6，
∵大小为60°的二面角α-l-β，
∴∠EOF=60°，
∴∠MPN=120°，
根据余弦定理有：
MN²=MP²+NP²-2MP?NP?cos∠MPN=4²+6²-2×4×6×（-

1

2

）=76，
∴MN=2

19

，
∴△PAB周长的最小值等于2

19

．
故答案为：2

19

．