Question

高数求极限，图中过程对不对？如果错了为什么？

Answer 1

等价无穷小代换只适用于乘除，不适用于加减，所以你这个肯定不对，先通分了再说呗。

Answer 2

lim(x->0+) [ 1/x - 1/(e^x-1) ] = lim(x->0) ( 1/x -1/x) = 0

不对

lim(x->0+) [ 1/x - 1/(e^x-1) ]

=lim(x->0+) (e^x -1 -x )/[x (e^x-1) ]

=lim(x->0+) (e^x -1 -x )/x^2

洛必达

=lim(x->0+) (e^x -1 )/(2x)

=lim(x->0+) x/(2x)

=1/2

追问

非常感谢！那么原因是什么？我自己也看着不合适，但是想不通，等价无穷小能用在什么运算过程中？

追答

1/(e^x-1) 不能简单变成 1/x

追问

理解不了。。。

追答

其实
e^x = 1+x+(1/2)x^2+(1/6)x^3+......
等价无穷小要跟其他比较，不能把 1/(e^x-1) 简单变成 1/x 而不同其他比较，那是不成
例子
lim(x->0+) 1/x 不存在
那就不能单独把1/(e^x-1) 简单变成 1/x 而不理会lim(x->0+) 1/x

追问

谢谢您的解答，似懂非懂，我自己再理解一下，哈哈哈