Question

在△ABC中，满足（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，且△ABC的外接圆半径为 2 ．（Ⅰ）求

在△ABC中，满足（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，且△ABC的外接圆半径为 2 ．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）求△ABC面积S的最大值，并判断此时的三角形形状．

Answer 1

（Ⅰ）利用正弦定理化简（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB得：a 2 -c 2 =ab-b 2 ， 变形得：a 2 +b 2 -c 2 =ab， ∴cosC= a 2 + b 2 - c 2 2ab = 1 2 ， 又C为三角形的内角， 则C= π 3 ； （Ⅱ）∵ a 2 + b 2 - c 2 2ab = 1 2 ，又c=2rsinC=2× 2 × 3 2 = 6 ， ∴ab=a 2 +b 2 -6≥2ab-6，即ab≤6， ∴当a=b= 6 时，（ab） max =6， ∴S △ABC = 1 2 absinC= 3 4 ab≤ 3 3 2 ， 又a=b，且C= π 3 ， 则此时△ABC为等边三角形．