Question

已知椭圆x22+y2＝1的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上

已知椭圆x22+y2＝1的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，且BC∥x轴，求证直线AC经过线段EF的中点．

Answer 1

证明：依设，得椭圆的半焦距c=1，右焦点为F（1，0），
右准线方程为x=2，点E的坐标为（2，0），
EF的中点为N（

3

2

，0）（3分）
若AB垂直于x轴，
则A（1，y₁），B（1，-y₁），C（2，-y₁），
∴AC中点为N（

3

2

，0），
即AC过EF中点N．
若AB不垂直于x轴，由直线AB过点F，
且由BC∥x轴知点B不在x轴上，
故直线AB的方程为y=k（x-1），k≠0．
记A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），
则C（2，y₂）且x₁，
x₂满足二次方程

x2

2

+k2(x?1)2＝1
即（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0，
∴x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x1x2＝

2(k2?1)

1+2k2

（10分）
又x²₁=2-2y²₁＜2，得x₁-

3

2

≠0，
故直线AN，CN的斜率分别为
k₁=

y1

x1? 3 2

＝

2k(x1?1)

2x1?3

k2＝

y2

2? 3 2

＝2k(x2?1)
∴k₁-k₂=2k?

(x1?1)?(x2?1)(2x1?3)

2x1?3

∵（x₁-1）-（x₂-1）（2x₁-3）=3（x₁+x₂）-2x₁x₂-4
=

1

1+2k2

[12k2?4(k2?1)?4(1+2k2)]＝0
∴k₁-k₂=0，即k₁=k₂，故A、C、N三点共线．
所以，直线AC经过线段EF的中点N．（14分）