Question

设直线x+2y+4=0和圆x2+y2-2x-15=0相交于点A，B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长

设直线x+2y+4=0和圆x2+y2-2x-15=0相交于点A，B．（1）求弦AB的垂直平分线方程；（2）求弦AB的长．

Answer 1

（1）∵圆x²+y²-2x-15=0化成标准方程得（x-1）²+y²=16，
∴圆心为C（1，0），半径r=4．
∵直线x+2y+4=0和圆x²+y²-2x-15=0相交于点A、B，
∴设弦AB的垂直平分线为l：2x-y+m=0，
由垂径定理，可知点C（1，0）在l上，得2×1-0+m=0，解之得m=-2．
因此，弦AB的垂直平分线方程为2x-y-2=0；
（2）圆心C（1，0）到直线x+2y+4=0的距离为：
d=

|1+2×0+4|

12+22

=

5

．
根据垂径定理，得|AB|=2

r2?d2

=2

11

，即弦AB的长等于2

11

．