Question

（2014?福建模拟）在平面直角坐标系xOy中，椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点（2，0），焦距为23．（Ⅰ

（2014?福建模拟）在平面直角坐标系xOy中，椭圆Γ：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点（2，0），焦距为23．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过点C（-1，0）且交椭圆Γ于A，B两点，试探究椭圆Γ上是否存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得a=2，c＝

3

，…（2分）
因为a²=b²+c²，所以b²=a²-c²=1，…（3分）
所以椭圆Γ的方程为  

x2

4

+y2＝1；…（4分）
（Ⅱ）依题意得：直线y=k（x+1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
假设椭圆Γ上存在点P（x₀，y₀）使得四边形OAPB为平行四边形，则

x1+x2＝x0 y1+y2＝y0

．
由

y＝k(x+1) x2 4 +y2＝1

得（1+4k²）x²+8k²x+4（k²-1）=0，…（6分）
所以x1+x2＝

?8k2

1+4k2

，y1+y2＝k(x1+x2+2)＝k(

?8k2

1+4k2

+2)＝

2k

1+4k2

．…（8分）
于是

x0＝ ?8k2 1+4k2 y0＝ 2k 1+4k2

即点P的坐标为(

?8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

)．    …（10分）
又点P在椭圆上，所以

( ?8k2 1+4k2 )2

4

+(

2k

1+4k2

)2＝1，整理得4k²+1=0，此方程无解．…（11分）
故椭圆Γ上不存在点P，使四边形OAPB为平行四边形．  …（12分）