Question

！！急！！！求助高一数学!！

已知函数f(x)对任意x,y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y），且当x>0时，f(x)<0，f(1)=-2/3
（1）判断并证明f(x)在区间（-∞，+∞）上的单调性
（2）求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值

一定要有过程啊！小妹感激不尽！！

Answer 1

1.f(x)+f(y)=f(x+y）
==>f(x)+f(1)=f(x+1）and f(!)=-2/3
==>f(x+1)<f(x)减函数
2.f(0)=f(0)+f(0)
==>f(0)=0
==>f(0)=f(x)+f(-x)
==>f(x)=-f(-x)
奇函数
f(3)=3f(1)=-2
f(-3)=-f(3)=2
最大值和最小值分别为-2,2

Answer 2

解:(1) 由题可得,令X=Y=0,则
F(0)+F(0)=F(0)
F(0)=0
所以,令X=X Y=-X,代入,则
F(X)+F(-X)=F(0)=0
F(-X)=-F(X)
所以函数是奇函数
因为,当x>0时，f(x)<0
所以F(X)是减函数
(2) 令Y=1,则
F(X)+F(1)=F(X+1)
F(X+1)-F(X)=-2/3
所以 F(1)-F(0)=-2/3
F(2)-F(1)=-2/3
F(3)-F(2)=-2/3
F(4)-F(3)=-2/3
F(X)-F(X-1)=-2/3
上面所有式子相加,得
F(X)-F(0)=-2/3
F(X)=-2/3X
所以F(X)在[-3，3]最大值为F(-3)=2
最小值为F(3)=-2