Question

数学初中二

将一副三角板如图放置，其中△ABC为等腰直角三角形，D为BC的中点，将三角板MDN的直角顶点放在D处，三角板的两边与AB、AC分别交于点E、F，当三角板MDN绕点D旋转时，且旋转过程中使点E不与A、B重合.
1-求证: △DEF是等腰直角三角形
2-证明点E、F到线段BC的距离之和为定值

Answer 1

证明：

1）连接AD

因为：D是等腰RT△BAC的斜边BC上的中点

所以：

AD=BD=CD

∠ABD=∠ACD=∠BAD=∠CAD=45°

∠ADB=∠ADC=∠EDF=90°

所以：∠BDE+∠ADE=∠ADF+∠ADE=90°

所以：∠BDE=∠ADF

在△BDE和△ADF中：

∠EBD=∠FAD=45°

BD=AD

∠BDE=∠ADF

所以：△BDE≌△ADF（角边角）

所以：DE=DF

所以：△DEF是等腰直角三角形

2）

过E和F分别作BC的垂线，垂足为H和G

所以：AD//EH//FG

所以：

RT△BHE∽RT△BDA

所以：HE/DA=BE/BA…………（1）

同理：RT△CGF∽RT△CDA

所以：GF/DA=CF/CA…………（2）

(1)+(2)得：
(HE+GF)/DA=BE/BA+CF/CA

因为：AB=AC

所以：

(HE+GF)/DA=(BE+CF)/BA…………（3）

由1）中证明知道：△BDE≌△ADF（角边角）

所以：BE=AF=AC-CF=AB-CF

所以：BE+CF=AB=BA

代入（3）知道：

(HE+GF)/DA=BA/BA=1

所以：HE+GF=DA为定值

命题得证

Answer 2

（1）连接AD，易证△BED全等于△DAF，则有ED=FD，三角形DEF始终为等腰直角三角形。
（2）不变，因为三角形BDE可转化为三角形DAF，则三角形BDE和三角形DCF的面积和即△ADC，不变

追问

可是证明△BED全等于△DAF有什么已知条件

Answer 3

（1）
连接AD
因为△ABC是等腰直角三角形
所以AD=BD，∠B=∠DAC=45，且AD⊥BC
所以∠BDE+∠EDA=∠EDA+∠ADF=90
所以∠BDE=∠ADF
所以△BDE全等△ADF
所以DE=DF
所以△DEF是等腰直角三角形

（2）
过E、F做垂直于BC的垂线，锤点分别为G、H，所以FH=HC
可以证明△EGD全等△DHF
所以EG=DH
EG+FH=DH+HC=DC
DC是定值，所以点E、F到线段BC的距离之和为定值