Question

在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内一点,且∠APB>∠APC,说明PB<PC

Answer 1

利用反证法。
一、假设PB＝PC。
　　∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB。
　　∵PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB。
　　∴∠ABC－∠PBC＝∠ACB－∠PCB，∴∠ABP＝∠ACP，结合AB＝AC、PB＝PC，得：
　　△ABP≌△ACP，∴∠APB＝∠APC。这与题目中给定的∠APB＞∠APC矛盾，
　　∴PB＝PC是不可能的。

二、假设PB＞PC。
　　∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB。
　　∵PB＞PC，∴∠PCB＞∠PBC。
　　∴∠ABC－∠PBC＞∠ACB－∠PCB，∴∠ABP＞∠ACP，又∠APB＞∠APC，
　　∴∠ABP＋∠APB＞∠ACP＋∠APC，∴180°－∠ABP－∠APB＜180°－∠ACP－∠APC，
　　∴∠BAP＜∠CAP，结合AB＝AC、AP＝AP，得：PB＜PC。这与假设的PB＞PC矛盾，
　　∴PB＞PC是不可能的。

综上一、二所述，得：PB＜PC。