Question

如图，抛物线y=ax 2 +bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点左、右两侧），与y轴正轴交于点C，OA：OB

如图，抛物线y=ax 2 +bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点左、右两侧），与y轴正轴交于点C，OA：OB：OC=1：4：4，△ABC面积为40。
（1）求A、B、C三点坐标；（2）求抛物线对应的二次函数的解析式；（3）若以抛物线上一点P为圆心的圆恰好与直线BC相切于点C，求点P的坐标。

Answer 1

解：（1）由题意设A（-k，0），则点B、C的坐标为（4k，0）、（0，4k）、k＞0， ∴AB=5k， 由S △ABC = ×5k×4k=40，得k=2 ∴A（-2，0）、B（8，0）、C（0，8）。 （2）设抛物线y=a（x+2）（x-8）， 把（0，8）代入，得a= ∴y=- （x+2）（x-8）即y=- x 2 +3x+8。 （3）易得直线BC为y=-x+8由⊙P切BC于C，知PC⊥BC，延长PC交x轴于点Q，则OQ=OC=OB=8， 故得Q（-8，0），进而，直线PQ的解析式为y=x+8 解方程组 由于点（0，8）即为点C，不合题意，舍去 所以，满足条件的点P的坐标为（4，12）。