Question

已知a为常数，求函数f(x)等于负x的立方加3ax(0小于或等于x小于或等于1)的最大值

Answer 1

求函数f（x）=-x3+3ax的导数，对方程f'（x）=-3（x2-a）=0有无实根，和有根，根是否在区间[0，1]内进行讨论，求得函数的极值，再与f（0）、f（1）比较大小，确定函数的最大值．
解：f'（x）=-3x2+3a=-3（x2-a）
若a≤0，则f'（x）=-3（x2-a）≤0，此时函数f（x）单调递减，
所以当x=0时，f（x）取得最大值，f（x）max=f（0）=0
若a＞0，令f'（x）=-3（x2-a）=0，解得 x=±√a，
∵x∈[0，1]，则只考虑 x=√a的情况，如表所示：
x (0,√a) √a (√a,+∞)
f'（x） + 0 -
f（x） ↑ 极大值 ↓
①当0＜a＜1时，根据函数的增减性得，
当 x=√a时，f（x）有最大值，f（x）max=f（√ a）= 2a√a；
②当 √a≥1，即a≥1时，根据函数的增减性得
当x=1时，f（x）有最大值．f（x）max=f（1）=3a-1．
综合以上可知：
当a≤0时，x=0，f（x）有最大值0；
当0＜a＜1时，x= √a，f（x）有最大值 2a√a；
当a≥1时，x=1，f（x）有最大值3a-1．