Question

已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为 F(0， 2 ) ，且长轴长与短轴长的比为 2 ：

已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为 F(0， 2 ) ，且长轴长与短轴长的比为 2 ：1 ．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C上在第一象限内的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B．求证：直线AB的斜率为定值．

Answer 1

（1）由已知可设椭圆C的方程为： y 2 a 2 + x 2 b 2 =1(a＞b＞0) 依题意： a b = 2 且a 2 =b 2 +2解得：a 2 =4b 2 =2 故椭圆C的方程为： y 2 4 + x 2 2 =1 …（4分） （2）证明：由（1）知：P（1， 2 ） 由已知设PA： y- 2 =k(x-1) ，即： y=kx-(k- 2 ) PB： y- 2 =-k(x-1) ，即： y=-kx+(k+ 2 ) …（6分） 由 y=kx-(k- 2 ) 2 x 2 + y 2 =4 得： ( k 2 +2) x 2 -2k(k- 2 )+ k 2 -2 2 k-2=0 设A（x 1 ，y 1 ）B（x 2 ，y 2 ）则： x 1 +1= 2 k 2 -2 2 k k 2 +2 故： x 1 = k 2 -2 2 k-2 k 2 +2 同理： x 2 = k 2 +2 2 k-2 k 2 +2 …（10分） 直线AB的斜率 k AB = y 1 - y 2 x 1 - x 2 = k( x 1 + x 2 )-2k x 1 - x 2 = k 2 k 2 -4 k 2 +2 -2k -4 2 k k 2 +2 = -8k -4 2 k = 2 所以：直线AB的斜率为定值．…（12分）