Question

已知数列{an}是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且a1+1，a3+1，a7+1成等比数列．（1）求{an}的通项

已知数列{an}是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且a1+1，a3+1，a7+1成等比数列．（1）求{an}的通项公式；（2）记数列{1Sn}的前n项和为Tn求证：Tn＜34．

Answer 1

（1）数列{a_n}是公差为2的等差数列，
∴a₃=a₁+5，a₇=a₁+13
∵a₁+1，a₃+1，a₇+1成成等比数列，
∴(a1+5)2＝(a1+1)(a1+13)      …（3分）
解之得a₁=3，
所以a_n=2n+1…（6分）
（2）证明：由（1）得a_n=2n+1，s_n=n（n+2）
∴

1

sn

＝

1

2

(

1

n

?

1

n+2

)，…（9分）
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

?

1

4

+

1

3

?

1

5

+…+

1

n

?

1

n+2

）
=

1

2

(1+

1

2

?

1

n+1

?

1

n+2

)＜

3

4

…（13分）