如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠ABC=90°且PA=AB=BC，DC=2AB点E是棱PB
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠ABC=90°且PA=AB=BC，DC=2AB点E是棱PB上的动点．（Ⅰ）当PD∥平面E...
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，∠ABC=90°且PA=AB=BC，DC=2AB点E是棱PB上的动点．（Ⅰ）当PD∥平面EAC时，确定点E在棱PB上的位置；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角E-AC-B的正切值．
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（Ⅰ）在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC=45°，
∴∠DCA=∠BAC=45°．
又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．
∴DC=
AC=2AB．
连接BD，交AC于点M，则
=
=2
∵PD∥平面EAC，又平面EAC∩平面PDB=ME，∴PD∥EM
在△BPD中，
=
=2，
即PE=2EB时，PD∥平面EAC
（Ⅱ）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，
如图建立空间直角坐标系．
设PA=AB=BC=a，则A（0，0，0），B（0，a，0），
C（a，a，0），P（0，0，a），E（0，
，）．
设
=（x，y，1）为平面EAC的一个法向量，
则
，解得x=
，y=-
，
∴
=（
，-
∴∠DCA=∠BAC=45°．
又AC⊥AD，故△DAC为等腰直角三角形．
∴DC=
| 2 |
连接BD，交AC于点M，则
| DM |
| MB |
| DC |
| AB |
∵PD∥平面EAC，又平面EAC∩平面PDB=ME，∴PD∥EM
在△BPD中，
| PE |
| EB |
| DM |
| MB |
即PE=2EB时，PD∥平面EAC
（Ⅱ）以A为原点，AB，AP所在直线分别为y轴、z轴，
如图建立空间直角坐标系．
设PA=AB=BC=a，则A（0，0，0），B（0，a，0），
C（a，a，0），P（0，0，a），E（0，
| 2a |
| 3 |
设
| n1 |
则
|
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| n1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
