Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x-1）2+y2=16，圆C2：（x+1）2+y2=1，点S为圆C1上的一个动点，现将

在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x-1）2+y2=16，圆C2：（x+1）2+y2=1，点S为圆C1上的一个动点，现将坐标平面折叠，使得圆心C2（-1，0）恰与点S重合，折痕与直线SC1交于点P．（1）求动点P的轨迹方程；（2）过动点S作圆C2的两条切线，切点分别为M、N，求MN的最小值；（3）设过圆心C2（-1，0）的直线交圆C1于点A、B，以点A、B分别为切点的两条切线交于点Q，求证：点Q在定直线上．

Answer 1

（1）由题意得|PC₁|+|PC₂|=|PC₁|+|PS|=4＞|C₁C₂|，故P点的轨迹是以C₁、C₂为焦点，4为长轴长的椭圆，
则2a=4，c=1，所以a=2，b＝

3

，故P点的轨迹方程是

x2

4

+

y2

3

＝1．（5分）
（2）法1（几何法） 四边形SMC₂N的面积=

1

2

SC2?MN＝

1

2

SM?MC2×2＝SM，
所以MN＝

2SM

SC2

＝2cos∠MSC2＝2

1?sin2∠MSC2

＝2

1? 1 SC22

，（9分）
从而SC₂取得最小值时，MN取得最小值，显然当S（-3，0）时，SC₂取得最小值2，
所以MNmin＝2

1? 1 4

＝

3

．（12分）
法2（代数法） 设S（x₀，y₀），则以SC₂为直径的圆的标准方程为(x?

x0?1

2

)2+(y?

y0

2

)2＝(

x0+1

2

)2+(

y0

2

)2，
该方程与圆C₂的方程相减得，（x₀+1）x+y₀y+x₀=0，（8分）
则圆心C₂到直线MN的距离d＝

1

(x0+1)2+y02

=

1

x02+y02+2x0+1

，
因为(x0?1)2+y02＝16，所以x02+y02＝15+2x0，从而d＝

1

16+4x0

，x₀∈[-3，5]，
故当x₀=-3时d_max=

1

2

，
因为MN＝2

1?d2

，所以MNmin＝2

1?( 1 2 )2

=

3

．（12分）
（3）设Q（m，n），则“切点弦”AB的方程为（m-1）（x-1）+ny=16，
将点（-1，0）代入上式得m=-7，n∈R，故点Q在定直线x=-7上．（16分）