已知:如图AB是⊙O的直径,PB切⊙O于点B,PA交⊙O于点C,PF分别交AB、BC于E、D,交⊙O于F、G,且BE、BD恰

已知:如图AB是⊙O的直径,PB切⊙O于点B,PA交⊙O于点C,PF分别交AB、BC于E、D,交⊙O于F、G,且BE、BD恰好是关于x的方程x2-6x+(m2+4m+13... 已知:如图AB是⊙O的直径,PB切⊙O于点B,PA交⊙O于点C,PF分别交AB、BC于E、D,交⊙O于F、G,且BE、BD恰好是关于x的方程x2-6x+(m2+4m+13)=0(其中m为实数)的两根.(1)求证:BE=BD.(2)若GE?EF=63,求∠A的度数. 展开
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猴教韶9
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解答:(1)证明:∵BE、BD是关于x的方程x2-6x+(m2+4m+13)=0的两根,
∴△=(-6)2-4(m2+4m+13)=-4(m+2)2≥0,∴m=-2,(2分)
原方程为x2-6x+9=0,
解之,得x1=x2=3,
∴BE=BD=3;(4分)

(2)解:由相交弦定理得AE?BE=GE?FE=6
3

∴AE=2
3
(5分)
∵PB切⊙O于点B,AB为⊙O的直径
∴∠ABP=∠ACB=90°
又∵BE=BD=3,
∴∠1=∠2
∵∠1=∠A+∠4,∠2=∠3+∠5
又∵∠5=∠A,
∴∠3=∠4(7分)
方法一:易证△PBD∽△PAE,
BD
AE
PD
PE

△PDC∽△PEB
DC
EB
PD
PE
(9分)
BD
AE
DC
EB
,DC=
BD?EB
AE
3×3
2
3
3
3
2
(10分)
在Rt△ACB中,sinA=
BC
AB
3+
3
3
2
3+2
3
6+3
3
6+4
3
3(2+
3
)
2
3
(
3
+2)
3
2

∴∠A=60°;(12分)

方法二:易证△PBC∽△PAB,
BC
AB
PB
PA

∵△PBD∽△PAE
BD
AE
PB
PA
(9分)
BC
AB
BD
AE
(10分)
sin∠A=
BC
AB
BD
AE
3
2
3
3
2

∴∠A=60°(12分)
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