已知:如图AB是⊙O的直径,PB切⊙O于点B,PA交⊙O于点C,PF分别交AB、BC于E、D,交⊙O于F、G,且BE、BD恰
已知:如图AB是⊙O的直径,PB切⊙O于点B,PA交⊙O于点C,PF分别交AB、BC于E、D,交⊙O于F、G,且BE、BD恰好是关于x的方程x2-6x+(m2+4m+13...
已知:如图AB是⊙O的直径,PB切⊙O于点B,PA交⊙O于点C,PF分别交AB、BC于E、D,交⊙O于F、G,且BE、BD恰好是关于x的方程x2-6x+(m2+4m+13)=0(其中m为实数)的两根.(1)求证:BE=BD.(2)若GE?EF=63,求∠A的度数.
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解答:(1)证明:∵BE、BD是关于x的方程x2-6x+(m2+4m+13)=0的两根,
∴△=(-6)2-4(m2+4m+13)=-4(m+2)2≥0,∴m=-2,(2分)
原方程为x2-6x+9=0,
解之,得x1=x2=3,
∴BE=BD=3;(4分)
(2)解:由相交弦定理得AE?BE=GE?FE=6
∴AE=2
(5分)
∵PB切⊙O于点B,AB为⊙O的直径
∴∠ABP=∠ACB=90°
又∵BE=BD=3,
∴∠1=∠2
∵∠1=∠A+∠4,∠2=∠3+∠5
又∵∠5=∠A,
∴∠3=∠4(7分)
方法一:易证△PBD∽△PAE,
∴
=
△PDC∽△PEB
∴
=
(9分)
∴
=
,DC=
=
=
(10分)
在Rt△ACB中,sinA=
=
=
=
=
∴∠A=60°;(12分)
方法二:易证△PBC∽△PAB,
∴
=
∵△PBD∽△PAE
∴
=
(9分)
∴
=
(10分)
sin∠A=
=
=
=
∴∠A=60°(12分)
∴△=(-6)2-4(m2+4m+13)=-4(m+2)2≥0,∴m=-2,(2分)
原方程为x2-6x+9=0,
解之,得x1=x2=3,
∴BE=BD=3;(4分)
(2)解:由相交弦定理得AE?BE=GE?FE=6
3 |
∴AE=2
3 |
∵PB切⊙O于点B,AB为⊙O的直径
∴∠ABP=∠ACB=90°
又∵BE=BD=3,
∴∠1=∠2
∵∠1=∠A+∠4,∠2=∠3+∠5
又∵∠5=∠A,
∴∠3=∠4(7分)
方法一:易证△PBD∽△PAE,
∴
BD |
AE |
PD |
PE |
△PDC∽△PEB
∴
DC |
EB |
PD |
PE |
∴
BD |
AE |
DC |
EB |
BD?EB |
AE |
3×3 | ||
2
|
3
| ||
2 |
在Rt△ACB中,sinA=
BC |
AB |
3+
| ||||
3+2
|
6+3
| ||
6+4
|
3(2+
| ||||
2
|
| ||
2 |
∴∠A=60°;(12分)
方法二:易证△PBC∽△PAB,
∴
BC |
AB |
PB |
PA |
∵△PBD∽△PAE
∴
BD |
AE |
PB |
PA |
∴
BC |
AB |
BD |
AE |
sin∠A=
BC |
AB |
BD |
AE |
3 | ||
2
|
| ||
2 |
∴∠A=60°(12分)
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