Question

如图，AB是圆O的直径，P为圆O外一点，PA交圆O于C，PB的延长线交圆O于F，过C点的切线OE垂直PF于E

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Answer 1

1. 直线PC与圆O相切
证明：如你图,连接OC；
∵BC∥OP, ∴∠B=∠POA,∠BCO=∠COP,
∵OB=OC, ∴∠B=∠OCB,∴∠COP=∠AOP；
∵OC=OA,OP=OP,∴△PCO≌△PAO,∴∠OCP=∠OAP=90°,
∴PC是圆O的切线.
2. 如右图.连接CA交OP于点E,并过C作BA的平行线交PA于点D,
易证△ABC∽△POC
则BC：OC=AB：OP.①
由sin1/2∠APC=1/3易得sin∠OPC=1/3,即OP=3OC,将BC=2同时代入①有：
2：OC=2OC：3OC,得OC=3
则PC=根号（OP^2-OC^2）=根号（81-9）=6根号2；
又∵CD∥BA, 且∠BAP=90°,∴∠CDP=90°,即CD是PC的长及点C到PA的距离.
∵△PCO≌△PAO（1、证明）∴PA=PC=6根号2
而AC：PC=BA：OP=2：3,∴AC=4根号2
又易证△OEA∽△BCA,则OE：BC=AO：AB,即得OE=1,则EP=3×3-1=8,
而S△PAC=1/2（EP×AC）=1/2（PA×CD）,解得：
CD=（EP×AC）/PA=（8×4根号2）/6根号2=5又1/3.