Question

已知定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a2|-a2，

且对x∈R，恒有f（x+1）≥f（x），则实数a的取值范围为
A.
[0，2]
B.
[-数学公式]
C.
[-1，1]
D.
[-2，0]
分析：定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a2|-a2，画出函数图象，可得1≥3a2-（-a2）可得a的范围．
解答：定义域为R的函数f（x）是奇函数，
当x≥0时，f（x）=|x-a2|-a2=，f（x）的图象如图所示：
当x＜0时，函数的最大值为a2，∵对x∈R，恒有f（x+1）≥f（x），
要满足f（x+l）≥f（x），1大于等于区间长度3a2-（-a2），
∴1≥3a2-（-a2），解得-≤a≤，
故选B．

1大于等于区间长度3a2-（-a2） 这是为什么呢？

Answer 1

已知定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a^2|-a^2，

且对x∈R，恒有f（x+1）≥f（x），则实数a的取值范围为
A.[0，2]    B.[-数学公式]     C.[-1，1]     D.[-2，0]

解析：∵定义域为R的函数f(x)是奇函数，

∴f(-x)=-f(x)，f(0)=0

∵当x≥0时，f(x)=|x-a^2|-a^2

∴当x<0时，f(x)=-|x+a^2|+a^2

画出a=1时，f(x)的图象下图所示：

                           
当x＜0时，函数的最大值为a^2，当x≥0时，函数的最小值为-a^2

∵对x∈R，恒有f(x+1)≥f(x)，
要满足f(x+l)≥f(x)，1大于等于区间长度3a^2-(-a^2)，
∴1>=3a^2-(-a^2)==>a^2<=1/4==>-1/2<=a<=1/2，
故选B．

 

当f(x)满足f(x)=f(x+T)时，f(x)为以T为最小正周期的周期函数

∴f(x)满足f(x)=f(x+1)时，f(x)为以1为最小正周期的周期函数

∵对x∈R，恒有f(x+1)≥f(x)，

∴函数f(x)的周期1应>=由图示的函数的一个周期的区间长度，由此求出a的取值范围

即1>=3a^2-(-a^2)==>a^2<=1/4==>-1/2<=a<=1/2，