Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1中点

（1）求直线BE和平面ABA1B1所成的角的正弦值；
（2）在棱C1D1上是否存在B1F//平面A1BE？若存在，给出证明，若不存在，说明理由。

Answer 1

高边长为a.
1. 取AA1的中点M,连接AF,知EM//AD.
又AD垂直于平面AA1B1B. 故EM也垂直平面AA1B1B.
故M是E在平面AA1B1B上的投影.
从而角EBM即为BE和平面ABB1A1所成的角.
由于EM垂直于BM.(垂直于平面,就垂直于平面上的任何直线)
故知:sin角EBM =EM/BE = a/根号[(a^2 +a^2 +(a/2)^2] = 2/3.
2. 取A1B的中点G.连接EG.
取A1B1的中点H. 连接GH.HD1
知GH//BB1//CC1//ED1.
且:GH= ED1 = a/2.即GHD1E为平行四边形. 故: HD1//EG.
作B1F//HD1 交C1D1于F.
则推出:有B1F//EG.
故B1F//平面A1BE (平行于平面上的一直线,就平行于这平面)
从而知C1D1上存在点F, 使B1F//平面A1BE.

Answer 2

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