Question

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1中点1）求直线BE和平面ABA1B1所成的角的正弦值；

（2）在棱C1D1上是否存在棱C1D1上是否存在B1F//平面A1BE？若存在，给出证明，若不存在，说明理由。
能用空间向量证一下么

Answer 1

郭敦顒回答：
(1)过E作EG⊥平面ABA1B1于G 则G为AA1的中点，连BG，则∠EBG即为直线BE和平面ABA1B1所成的角
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长AB=1，
∴EG=1，BE=√(1²+1²+0.5²)=√2.25=1.5,
∴sin∠EBG=EG/BE=1/1.5==2/3=0.666667
(2)取CD中点J,连BJ;上,在C1D1的延长线上取点K,且D1K=C1D1/2,则JK∥A1B,且JK=A1B,
∴A1BJK是平行四边形. 平面A1BE在平行四边形A1BJK上.
∴BJ=A1K,且BJ∥A1K.
在C1D1上取其中点F，
∵FK=FD1+G1K=1/2+1/2=C1D1=AB1,
∴FK=AB1, 又FK∥AB1, ∴A1B1FK为平行四边形,
∴B1F//A1K, B1F//平面A1BE，
∴在棱C1D1上存在F，使得B1F//平面A1BE。

L
K
A1 D1
H F
C1
B1 E

A D
J
I B C

追问

可以用空间向量方法证明么

追答

郭敦顒继续回答：
没有前面的分析证明，就不能由平面A1BE拓展到平面A1BE，和平行四边形A1B1FK，于是有B1F//A1K, B1F//平面A1BE，
还有Rt⊿B1C1F≌Rt⊿BCJ，且平面B1C1F//平面BCJ，
∴B1F=/BJ，且B1F//BJ，BJ在平行四边形A1B1FK上，即在平面A1BE上，
∴亦证得B1F//平面A1BE。
用空间向量方法去证明B1F//平面A1BE，但向量方法却不能独立地找出它们之间的平行、相交或为异面直线间的关系。所以不能用向量方法独立证明B1F//平面A1BE。
而已经证明了B1F//平面A1BE后，可以表明相关向量关系——
∵B1F=/ BJ，且B1F//BJ
又向量B1B⊥向量B1F，向量B1B⊥向量BJ，
∴向量B1F×向量BJ=向量0。
（若从过点B1作B1P⊥平面A1BE于P，找点P的相互关系，则非常复杂而且还要进一步在平面A1BE上过P作直线…）

Answer 2

(1)过E作EG⊥平面ABA1B1于G 则G为AA1的中点，连BG，则∠EBG即为直线BE和平面ABA1B1所成的角
设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长AB=1，
∴EG=1，BE=√(1²+1²+0.5²)=√2.25=1.5,
∴sin∠EBG=EG/BE=1/1.5==2/3=0.666667
(2)取CD中点J,连BJ;上,在C1D1的延长线上取点K,且D1K=C1D1/2,则JK∥A1B,且JK=A1B,
∴A1BJK是平行四边形. 平面A1BE在平行四边形A1BJK上.
∴BJ=A1K,且BJ∥A1K.
在C1D1上取其中点F，
∵FK=FD1+G1K=1/2+1/2=C1D1=AB1,
∴FK=AB1, 又FK∥AB1, ∴A1B1FK为平行四边形,
∴B1F//A1K, B1F//平面A1BE，
∴在棱C1D1上存在F，使得B1F//平面A1BE。

Answer 3

2010年湖南高考理科数学 18题