Question

已知抛物线L；y=ax 2 +bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的顶点P的坐标是 ， ，与y轴的交点是M（0，c）

已知抛物线L；y=ax 2 +bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的顶点P的坐标是 ， ，与y轴的交点是M（0，c）我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线。（1）请直接写出抛物线y=2x 2 -4x+1的伴随抛物线和伴随直线的关系式：伴随抛物线的关系式_________________；伴随直线的关系式___________________； （2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x 2 -3和y=-x-3， 则这条抛物线的关系是___________；（3）求抛物线L：y=ax 2 +bx+c（其中a、b、c都不等于0） 的伴随抛物线和伴随直线的关系式；（4）若抛物线L与x轴交于A（x 1 ，0），B（x 2 ，0）两点x 2 >x 1 >0，它的伴随抛物线与x 轴交于C，D两点，且AB=CD，请求出a、b、c应满足的条件。

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Answer 1

解：（1）y=-2x 2 +1，y=-2x+1； （2）y=x 2 -2x-3 （3）∵伴随抛物线的顶点是（0，c）， ∴设它的解析式为y=m（x-0） 2 +c（m≠0）。 ∴设抛物线过P ， ∴ = 解得m=-a， ∴伴随抛物线关系式为y=-ax 2 +c。 设伴随直线关系式为y=kx+c（k≠0） ∵P 在此直线上， ∴ ， ∴k= 。 ∴伴随直线关系式为y= x+c （4）∵抛物线L与x轴有两交点， ∴△ 1 =b 2 -4ac>0， ∴b 2 <4ac。 ∵x 2 >x 1 >0， ∴x 1 + x 2 = - >0，x 1 x 2 = >0， ∴ab<0，ac>0。 对于伴随抛物线y=-ax 2 +c，有△ 2 =0 2 -（-4ac）=4ac>0。由-ax 2 +c=0，得x= 。 ∴ ， ， ∴CD=2 。 又AB=x 2 -x 1 = = 。 由AB=CD，得 =2 ， 整理得b 2 =8ac，综合b 2 >4ac，ab<0，ac>0，b 2 =8ac， 得a，b，c满足的条件为b 2 =8ac且ab<0，（或b 2 =8ac且bc<0）。