Question

如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正

如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

∵四边形ADFC和四边形BCGE是正方形，
∴AD=AC，∠DAC=∠CBE=90°，
∴∠ABC=90°，∠D₁AD+∠BAC=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠D₁AD=∠BCA．
∵DD₁⊥l，
∴∠DD₁A=90°，
∴∠DD₁A=∠ABC．
在△ADD₁和△CAB中

∠DD1A＝∠ABC ∠D1AD＝∠BCA AD＝CA

，
∴△ADD₁≌△CAB（AAS），
∴DD₁=AB；
（2）DD₁+EE₁=AB
作CM⊥l于点M，
∴∠CMA=∠CMB=90．
∴∠MAC+∠MCA=90°，∠MBC+∠MCB=90°．
∵四边形ADFC和四边形BCGE是正方形，
∴AD=AC，BC=BE，∠DAC=∠CBE=90°，
∴∠D₁AD+∠MAC=90°，∠E₁BE+∠MBC=90°．
∴∠D₁AD=∠MCA，∠E₁BE=∠MCB．
∵DD₁⊥l，EE₁⊥l，
∴∠DD₁A=∠EE₁B=90°，
∴∠DD₁A=∠CMA，∠EE₁B=∠CMB．
在△AD₁D和△CMA中

∠DD1A＝∠CMA ∠D1AD＝∠MCA AD＝CA

，
∴△AD₁D≌△CMA（AAS），
∴D1D=AM．
在△BE₁E和△CMB中

∠E1BE＝∠MCB ∠EE1B＝∠CMB BC＝EB

，
∴△BE₁E≌△CMB（AAS），
∴E₁E=BM．
∵AB=AM+BM，
∴AB=DD₁+EE₁．

Answer 2

（1）证明：∵四边形CADF、CBEG是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，
∴∠DAD1+∠CAB=90°，
∵DD1⊥AB，
∴∠DD1A=∠ABC=90°，
∴∠DAD1+∠ADD1=90°，
∴∠ADD1=∠CAB，
在△ADD1和△CAB中，∠DD1A=∠ABC ∠ADD1=∠CAB AD=CA，
∴△ADD1≌△CAB（AAS），
∴DD1=AB；
（2）解：AB=DD1+EE1．
证明：过点C作CH⊥AB于H，
∵DD1⊥AB，
∴∠DD1A=∠CHA=90°，
∴∠DAD1+∠ADD1=90°，
∵四边形CADF是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=90°，
∴∠DAD1+∠CAH=90°，
∴∠ADD1=∠CAH，
在△ADD1和△CAH中，∠DD1A="∠CHA" ∠ADD1=∠CAH AD=CA，
∴△ADD1≌△CAH（AAS），
∴DD1=AH；
同理：EE1=BH，
∴AB=AH+BH=DD1+EE1；