Question

已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=DC，∠FCD=∠BAD，点F在AD上，BF的延长线交AC于点E．（1）求证：

已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=DC，∠FCD=∠BAD，点F在AD上，BF的延长线交AC于点E．（1）求证：△ABD≌△CFD．（2）求证：BE⊥AC；（3）设CE的长为m，用含m的代数式表示AC+BF．

Answer 1

（1）证明：∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在△ABD和△CFD中，

∠BAD＝∠FCD AD＝CD ∠ADB＝∠CDF

，
∴△ABD≌△CFD（ASA），

（2）∵△ABD≌△CFD，
∴BD=DF，
∴∠FBD=∠BFD=45°，
∴∠AFE=∠BFD=45°，
又∵AD=DC，
∴∠DAC=∠ACD=45°，
∴∠AEF=90°，
∴BE⊥AC．

（3）解：∵∠EBC=∠ACD=45°，CE=m，
∴BE=CE=m，
又∵∠AFE=∠FAE=45°，
∴AE=FE，
∴AC+BF=CE+AE+BF=CE+EF+BF=CE+BE=CE+CE=2m．