已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R．（1）若函数f（x）在x=-1处取得极值，求a的值；（2）在满足（1）的条
已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R．（1）若函数f（x）在x=-1处取得极值，求a的值；（2）在满足（1）的条件下，求函数f（x）在[-2，0]上的最值及相应...
已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R．（1）若函数f（x）在x=-1处取得极值，求a的值；（2）在满足（1）的条件下，求函数f（x）在[-2，0]上的最值及相应自变量x的值；（3）讨论函数f（x）的单调区间．
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（1）f'（x）=3x2+2ax+1
因为函数f（x）在x=-1处取得极值所以f'（-1）=0
解得a=2
（2）由（1）知f（x）=x3+2x2+x+1，f'（x）=3x2+4x+1
令f'（x）=3x2+4x+1=0解得x＝?1，x＝?
从上表可以看出f(x)极小值＝
＞0，f（x）极大值=1＞0，
所以函数f（x）有零点且只有一个5
又函数f（x）在[-2，-1]上连续，且f（-1）=1＞0，f（-2）=-1＜0，所以函数f（x）的零点介于-2和-1之间．7
（3）f'（x）=3x2+2ax+1，△=4a2-12=4（a2-3）
当a2≤3，即?
＜a＜
时，△≤0，f'（x）≥0，所以函数f（x）在R上是增函数
当a2＞3，即a＞
或a＜?
时，△＞0，
解f'（x）=0得两根为x1＝
，x2＝
（显然x1＜x2）
当x∈（-∞，x1）时f'（x）＞0；x∈（x1，x2）时f'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时f'（x）＞0
所以函数f（x）在(?∞，
)，(
，+∞)上是增函数；
在(
，
)上是减函数14
综上：当?
＜a＜
时，函数f（x）在R上是增函数；
当a＞
或a＜?
时，函数f（x）在(?∞，
)，(
，+∞)上是增函数；在(
，
因为函数f（x）在x=-1处取得极值所以f'（-1）=0
解得a=2
（2）由（1）知f（x）=x3+2x2+x+1，f'（x）=3x2+4x+1
令f'（x）=3x2+4x+1=0解得x＝?1，x＝?
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从上表可以看出f(x)极小值＝
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所以函数f（x）有零点且只有一个5
又函数f（x）在[-2，-1]上连续，且f（-1）=1＞0，f（-2）=-1＜0，所以函数f（x）的零点介于-2和-1之间．7
（3）f'（x）=3x2+2ax+1，△=4a2-12=4（a2-3）
当a2≤3，即?
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| 3 |
当a2＞3，即a＞
| 3 |
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解f'（x）=0得两根为x1＝
?a?
| ||
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?a+
| ||
| 3 |
当x∈（-∞，x1）时f'（x）＞0；x∈（x1，x2）时f'（x）＜0；x∈（x2，+∞）时f'（x）＞0
所以函数f（x）在(?∞，
?a?
| ||
| 3 |
?a+
| ||
| 3 |
在(
?a?
| ||
| 3 |
?a+
| ||
| 3 |
综上：当?
| 3 |
| 3 |
当a＞
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| 3 |
?a?
| ||
| 3 |
?a+
| ||
| 3 |
?a?
| ||
| 3 |
?a+
|
