Question

已知x=1是函数f（x）=(x2+ax)ex，x＞0bx ，x≤0的极值点．（I）求a的值；（II）当b=1时，讨论f（x）的单

已知x=1是函数f（x）=(x2+ax)ex，x＞0bx ，x≤0的极值点．（I）求a的值；（II）当b=1时，讨论f（x）的单调性；（III）当b∈R时，函数t=f（x）-m有2个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

（I）当x＞0时，f（x）=（x²+ax）e^x，
所以f′（x）=[x²+（a+2）x+a]e^x．
又因为x=1是函数f（x）的极值点，
所以f′（1）=0，
解得a＝ ?

3

2

．
（II）当x≤0时，f（x）=x，
所以根据一次函数的性质可得：f（x）在（-∞，0]上单调递减；
当x＞0时，f（x）=(x2?

3

2

x)ex，所以f′(x)＝[x2+

1

2

x?

3

2

] ex=(x?1)(x+

3

2

)e2．
所以当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，所以函数在（0，1）上单调递减．
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数在（1，+∞）上单调递增．
即b=1时，f（x）的增区间为（-∞，0），（1，+∞）；减区间为（0，1）．
（III）由（II）可得下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	＜	0	＞0
f（x）	减	极小值	增

则fmin(x)＝f(1)＝?

1

2

e．
要使函数f（x）-m有两个零点，则函数y=f（x）的图象与y=m的图象有两个交点，结合f（x）的大致图象可得：
当b＞0时，m=0或者m=-

1

2

e；当b=0时，m∈（-

1

2

e，0）；当b＜0时，m∈（-

1

2

，+∞）．