Question

如图，正方形ABCD的边长为4、点E在边AB上，且AE=1．点F为边CD上一动点，且DF=m，

如图，正方形ABCD的边长为4、点E在边AB上，且AE=1．点F为边CD上一动点，且DF=m，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（1）连接EF，求四边形AEFD的面积s关于m的函数关系式；
（2）若直线EF将正方形ABCD分成面积相等的两部分：求此时直线EF对应的函数关系式；
（3）在正方形ABCD的边上是否存在点P，使△PCE是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）如图所示：
连接EF，根据梯形面积的求法s=0.5×（AE+DF）×AD，
可得：s=2m+2；

（2）正方形的面积为16，因为直线EF将正方形ABCD分成面积相等的两部分，
所以梯形面积为s=8，所以m=3，
所以F的坐标为（3，4），又因为E的坐标（1，0），
设EF的解析式为y=kx+b，将E和F的坐标代入可得
y=2x-2；

（3）CE长为5，
当C为顶点时，CP长为5，P在AD上，根据勾股定理可知AP=1，
所以P的坐标为（0，1），
当E为顶点时，PE=5，不存在点P，
当P为顶点时，P在CB上，CP=PE，
设BP=x，根据勾股定理列出等量关系式：（4-x）2=9+x2，
解得x=0.875，所以P的坐标（4，0.875），
P在AD上，同理可以求的AP=3.875，
所以P的坐标为（0，3.875），
所以P的坐标为（0，1），（4，0.875），（0，3.875）．

Answer 2

因为四边形AEFD至少是梯形，且AE∥DF，则四边形AEFD的面积s=1/2（AE+DF)*AD
=1/2（1+m）x4=2+2m
四边形ABCD的面积=4x4=16，则要使EF将正方形的面积一分为二，则有
2+2m=16/2=8，则m=3
设P点为（x，y）。因为CE=5，则只存在PE=CE，利用点与点之间的距离公式可以求出
6x+8y-31=0，则当x=0时，y=31/8.
而当y=0时，x=31/6>4，则不符合题意。
当x=4时，y=7/8
当y=4时，x=-1/6<0，不符合题意
故点P为（0,31/8）或（4,7/8）

Answer 3

解:(1)S=(AE+DF)*AD/2=(1+m)*4/2=2m+2;
(2)直线EF平分正方形ABCD的面积,则S=4²÷2=8.
即2m+2=8,m=3,故点F为(3,4).
设直线EF的解析式为y=kx+b,图象过点E(1,0),F(3,4),则:
0=k+b;
4=3k+b.
解得:k=2,b=-2.所以直线EF的函数解析式为:y=2x-2.
(3)正方形ABCD边上符合条件的点P有三个,分别为(0,1)、(4,7/8)或(0,31/8).

Answer 4

∵四边形AEFD至少是梯形，且AE∥DF，
∴四边形AEFD的面积s=1/2（AE+DF)*AD
=1/2（1+m）x4=2+2m
∴四边形ABCD的面积=4x4=16，
若要使EF将正方形的面积一分为二，
则有：
2+2m=16/2=8，则m=3
设P点为（x，y）。
∵CE=5，
∴只存在PE=CE，
得6x+8y-31=0，则当x=0时，y=31/8.
∵当y=0时，x=31/6>4，
∴不符合题意。
当x=4时，y=7/8
当y=4时，x=-1/6<0，不符合题意
故点P为（0,31/8）或（4,7/80

Answer 5

1.s=2m+2
2.y=2x-2
3.(4,0.875) (0.875,4)