Question

如图，△ABC内接于⊙O，且AB＞AC．∠BAC的外角平分线交⊙O于E，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：EB=EC；（2

如图，△ABC内接于⊙O，且AB＞AC．∠BAC的外角平分线交⊙O于E，EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：EB=EC；（2）分别求式子AB+ACBF、AB?ACAF的值；（3）若EF=AC=3，AB=5，求△AEF的面积．

Answer 1

（1）证明：∵∠BAC的外角平分线交⊙O于E，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠EBC，∠2=∠3，
∴∠EBC=∠3，
∴EB=EC；

（2）解：在BA上截取BD=CA，如图，
在△BED和△CEA中

BE＝CE ∠4＝∠5 BD＝CA

，
∴△BED≌△CEA（SAS），
∴ED=EA，
∵EF⊥AD，
∴DF=AF，
∴AB+AC=BD+DF+FA=BF+DF+BD=2BF，
AB-AC=BD+DF+AF-BD=2AF，
∴

AB+AC

BF

=

2BF

BF

=2，

AB?AC

AF

=

2AF

AF

=2；

（3）解：由（2）得BD=AC=3，
∵AB=BD+DF+AF=AC+2AF，
∴3+2AF=5，
∴AF=1，
而EF=3，
∴△AEF的面积=

1

2

×3×1=

3

2

．

Answer 2

（1）证明：∵∠BAC的外角平分线交⊙O于E，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠EBC，∠2=∠3，
∴∠EBC=∠3，
∴EB=EC；

（2）解：在BA上截取BD=CA，如图，
在△BED和△CEA中

BE＝CE∠4＝∠5BD＝CA    

，
∴△BED≌△CEA（SAS），
∴ED=EA，
∵EF⊥AD，
∴DF=AF，
∴AB+AC=BD+DF+FA=BF+DF+BD=2BF，
AB-AC=BD+DF+AF-BD=2AF，
∴

AB+AC    

BF    

=

2BF    

BF    

=2，

AB?AC    

AF    

=

2AF    

AF    

=2；

（3）解：由（2）得BD=AC=3，
∵AB=BD+DF+AF=AC+2AF，
∴3+2AF=5，
∴AF=1，
而EF=3，
∴△AEF的面积=

1    

2    

×3×1=

3    

2    

．