Question

已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足：a1=1，Sn+1=an+1anSn+（λ?3n+1）an+1（n

已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足：a1=1，Sn+1=an+1anSn+（λ?3n+1）an+1（n∈N*）．（1）若λ=0，求数列{an}的通项公式；（2）若an+1＜12an对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）λ=0时，Sn+1＝

an+1

an

Sn+an+1
∴Sn＝

an+1

an

Sn
∵a_n＞0，S_n＞0
∴a_n+1=a_n，
∵a₁=1，
∴a_n=1
（2）∵S_n+1=

an+1

an

S_n+（λ?3ⁿ+1）a_n+1（n∈N^*）．
∴

Sn+1

an+1

?

Sn

an

＝λ3n+1，
则

S2

a2

?

S1

a1

＝λ?3+1，

S3

a3

?

S2

a2

＝λ?32+1，
∴

Sn

an

?

Sn?1

an?1

＝λ3n?1+1．
相加得

Sn

an

?1＝λ(3+32+…+3n?1)+n?1．
则Sn＝(λ?

3n?3

2

+n)?an，(n≥2)
上式对n=1也成立．
∴Sn＝(λ?

3n?3

2

+n)?an，
S