Question

已知数列{an}的各项均为正数，sn表示该数列前n项的和，且对任意正整数n，恒有2sn=an（an+1），设bn＝ni＝

已知数列{an}的各项均为正数，sn表示该数列前n项的和，且对任意正整数n，恒有2sn=an（an+1），设bn＝ni＝11an+i．（1）求数列{an}的通项公式；（2）证明：无穷数列{bn}为递增数列；（3）是否存在正整数k，使得bn＜k10对任意正整数n恒成立，若存在，求出k的最小值．

Answer 1

（1）n=1时，2s₁=a₁（a₁+1），s₁=a₁，a₁＞0，
解得a₁=1．
n≥2时，a_n=s_n-s_n-1，
2s_n=a_n（a_n+1），2s_n-1=a_n-1（a_n-1+1），
作差得2a_n=a_n（a_n+1）-a_n-1（a_n-1+1），
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=1，
对n≥2时恒成立，因此数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
故a_n=n；
（2）∵b_n+1-b_n=

n+1

i＝1

1

an+1+i

-

n

i＝1

1

an+i

=

n+1

i＝1

1

n+1+i

-

n

i＝1

1

n+i

=

1

2n+1

+

1

2n+2

?

1

n+1

=

1

2n+1

?

1

2n+2

＝

1

(2n+1)(2n+2)

＞0，
对任意正整数n恒成立∴无穷数列{b_n}为递增数列．
（3）存在，且k的最小值为7．
∵b3＝

1

4

+

1

5

+

1

6

＞

6

10

，
∴若存在正整数k，
必有k≥7．
又bn＝

n

i＝1

1

an+i

=bn＝

n

i＝1

1

n+i

=bn＝

2n

i＝1

1

i

?

n

i＝1

wangaibohit 2015-12-29 · TA获得超过348个赞 知道小有建树答主 回答量：122 采纳率：100% 帮助的人：36.2万 我也去答题访问个人页 关注 推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2015-02-08 设数列{an}的各项都是正数，Sn是其前n项和，且对任意n∈... 2 2016-03-05 数列{An}各项均为整数，Sn为其前n项和，且对任意的n属于... 2 2016-03-12 数列an的各项均为正数,sn为其前n项,且对任意的n∈n*,... 3 2014-12-15 数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N... 2014-11-23 已知数列an的各项均为正数，sn为前n项和，对于任意的n属于... 2 2015-02-10 已知各项均为正数的数列{an}中，a1=1，Sn是数列{an... 3 2015-02-08 已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn... 10 2015-02-06 已知正数数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的正整数n满足... 更多类似问题 > 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 新生报道需要注意什么？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2024Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式

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