Question

已知圆C的圆心在直线l1：x-y-1=0上，与直线l2：4x+3y+14=0相切，且截得直线l3：3x+4y+10=0所得弦长为6，

已知圆C的圆心在直线l1：x-y-1=0上，与直线l2：4x+3y+14=0相切，且截得直线l3：3x+4y+10=0所得弦长为6，求圆C的方程．

Answer 1

设圆心C（a，b），半径为r．
则∵圆C的圆心在直线l₁：x-y-1=0上，
∴a-b-1=0，
∵圆C与直线l₂：4x+3y+14=0相切
∴r=

|4a+3b+14|

5

，
∵圆C截得直线l₃：3x+4y+10=0所得弦长为6
∴

|3a+4b+10|

5

＝

r2?9

．
所以

(4a+3b+14)2

25

-

(3a+4b+10)2

25

=9．
即

(a?b+4)(7a+7b+24)

25

=9．
因为a-b=1，
所以

5(7a+7b+24)

25

=9，
∴a+b=3．
由

a?b＝1 a+b＝3

解之得

a＝2 b＝1

故所求圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=25．