Question

在45°的二面角a--l--b的棱上有两点AB，点CD分别在ab平面内。且AB垂直于AC,角ABD为45°，AB=AC=BD=1,

在45°的二面角a--l--b的棱上有两点AB，点CD分别在ab平面内。且AB垂直于AC,角ABD为45°，AB=AC=BD=1,则 CD长度为？

请详细解答，谢谢！

Answer 1

如图，作CO⊥β，连OA，因为AC⊥AB，由三垂线定理，得OA⊥AB，

从而∠OAC=45°，OA=OC=√2/2.

在β内作DE⊥AB于E，因为∠ABD=45°，所以 DE=BE=√2/2

所以 DE//OA 且DE=OA，从而四边形AODE是平行四边形，

所以 OD=AE=1-√2/2

在直角三角形COD中，CD²=OC²+OD²=1/2+(1-√2/2)²=2-√2

所以 CD=√(2-√2)

Answer 2

以A为原点建立空间直角坐标系。
可求到：
A(0,0,0)
B(0,1,0)
C(√2/2,0,√2/2)
D(√2/2,1-√2/2,0)
∴CD=√[(1-√2/2)²+1/2]=√(2-√2)