Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 cosB= 3 4 ．（Ⅰ）求 sin2B+co s 2 A+C

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 cosB= 3 4 ．（Ⅰ）求 sin2B+co s 2 A+C 2 的值；（Ⅱ）若 b= 3 ，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

（本小题满分13分） （I）因为 cosB= 3 4 ，所以 sinB= 7 4 ．…（1分） 又 sin2B+co s 2 A+C 2 =2sinBcosB+co s 2 π-B 2 = 2sinBcosB+ 1 2 (1-cosB) = 2× 7 4 × 3 4 + 1 8 = 1+3 7 8 ．…（6分） （II）由已知得 cosB= a 2 + c 2 - b 2 2ac = 3 4 ，…（7分） 又因为 b= 3 ，所以 a 2 + c 2 -3= 3 2 ac ．…（8分） 又因为 a 2 + c 2 = 3 2 ac+3≥2ac ， 所以ac≤6，当且仅当 a=c= 6 时，ac取得最大值．…（11分） 此时 S △ABC = 1 2 acsinB= 1 2 ×6× 7 4 = 3 7 4 ． 所以△ABC的面积的最大值为 3 7 4 ．…（13分）