Question

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=6，a3=11，且（5n-8）Sn+1-（5n+2）Sn=An+B，n=1，2，3，…，其

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=6，a3=11，且（5n-8）Sn+1-（5n+2）Sn=An+B，n=1，2，3，…，其中A、B为常数．（1）求A与B的值．（2）证明数列{an}为等差数列．

Answer 1

（1）由已知得s₁=a₁=1，s₂=a₁+a₂=7，s₃=a₁+a₂+a₃=18

由(5n?8)sn+1?(5n+2)sn＝An+B知 ?3s2?7s1＝A+B 2s3?12s2＝2A+B ? A+B＝?28 2A+B＝?48 ?A＝?20，B＝?8

（2）证明：由（1）知（5n-8）s_n+1-（5n+2）s_n=-20n-8①
所以（5n-3）s_n+2-（5n+7）s_n+1=-20n-28②
②-①得（5n-3）s_n+2-（10n-1）s_n+1+（5n+2）s_n=-20③
所以（5n+2）s_n+3-（10n+9）s_n+2+（5n+7）s_n+1=-20④
④-③得（5n+2）s_n+3-（15n+6）s_n+2+（15n+6）s_n+1-（5n+2）s_n=0
因为a_n+1=s_n+1-s_n，所以（5n+2）a_n+3-（10n+4）a_n+2+（5n+2）a_n+1=0
又因为5n+2≠0，所以a_n+3-2a_n+2+a_n+1=0，即a_n+3-a_n+2=a_n+2-a_n+1 n≥1，
又a₃-a₂=a₂-a₁=5．∴数列{a_n}为等差数列．