Question

已知抛物线y=（1-m）x2+4x-3开口向下，与x轴交于A（x1，0）和B（x2，0）两点，其中x1＜x2．（1）求m的取

已知抛物线y=（1-m）x2+4x-3开口向下，与x轴交于A（x1，0）和B（x2，0）两点，其中x1＜x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22=10，求抛物线的解析式，并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线；（3）设这条抛物线的顶点为C，延长CA交y轴于点D．在y轴上是否存在点P，使以P、B、O为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）

1?m＜0，① 42?4(1?m)×(?3)＞0，②

由①式得：m＞1；
由②式得：m＜

7

3

∴1＜m＜

7

3

；

（2）依题意有：x₁+x₂=

4

m?1

，x₁x₂=

3

m?1

，又x₁²+x₂²=10
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10
∴

16

(m?1)2

-

6

m?1

=10
化简得：[5（m-1）+8][（m-1）-1]=0
∴m=-

3

5

，m=2
由（1）值：m=-

3

5

应舍去，
∴m=2．
∴抛物线的解析式为y=-x²+4x-3；

（3）将抛物线配方得：y=-（x-2）²+1，
∴抛物线顶点坐标为（2，1），
与x轴交点为（1，0）（3，0），
与y轴交点为（0，-3），
可画出抛物线的示意图（如图）
∵A（1，0），B（3，0），C（2，1）
∴△ABC为等腰直角三角形，即∠BCD=90°
又∵直线AC与y轴交于点D
∴D（0，-1），
易得：BC=

2

，CD=2

2

依题意，设点P（0，y）
若△POB∽△BCD
则

OP

BC

＝

OB

CD

或

OB

BC

＝

OP

CD

∴