Question

如图，已知抛物线C：y2=4x焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．（Ⅰ）若线段AB的中点在直线

如图，已知抛物线C：y2=4x焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点．（Ⅰ）若线段AB的中点在直线y=2上，求直线l的方程；（Ⅱ）若|AB|=20，求直线l的方程．

Answer 1

（I）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，2），则x0＝

x1+x2

2

，2＝

y1+y2

2

，kl＝

y1?y2

x1?x2

．
由

y

2 1

＝4x1，

y

2 2

＝4x2，可得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴4k_l=4，解得k_l=1．
由y²=4x得焦点F（1，0）．∴直线l的方程为：y=x-1．
（II）设直线l的方程为y=k（x-1），联立

y＝k(x?1) y2＝4x

化为k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
∴x1+x2＝

4+2k2

k2

．
∵|AB|=x₁+x₂+p=

4+2k2

k2

+2＝20，解得k=±

1

2

．
∴直线l的方程为y＝±

1

2

(x?1)．

Answer 2

简单计算一下，答案如图所示