Question

已知抛物线c:y^2=4x的焦点为F,过F的直线l与c相交于两点A、B 求|AB|最小值

Answer 1

焦点F为（1,0）
当斜率不存在时，AB为通径，|AB|=4
当斜率存在时，设直线l的斜率为k，A、B 坐标为（x1，y1），（x2，y2）
则直线l：y=k（x-1）
联立y^2=4x
得k^2x^2-（2k^2+4）x+k^2=0
故x1+x2=（2k^2+4）/k^2=2+4/k^2>2
所以|AB|=x1+x2+2>4

综上，当斜率不存在时，|AB|取得最小值为4.

Answer 2

y²=4x的焦点为F(1，0)，准线为x=-1。
设A(x1,y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AF|=x1+1，|BF|=x2+1
|AB|=x1+x2+2
由于直线AB过F，故设AB的方程为x=my+1，代入y²=4x，得y²-4my-4=0
y1+y2=4m
所以x1+x2=(my1+1)+(my2+1)=m(y1+y2)+2=4m²+2
|AB|=x1+x2+2=4m²+4，
当m=0时，|AB|的最小值为4