Question

已知函数f（x）=ax3+x2-ax，a∈R，x∈R．（1）若函数f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，试求a的取值范

已知函数f（x）=ax3+x2-ax，a∈R，x∈R．（1）若函数f（x）在区间（1，2）上不是单调函数，试求a的取值范围；（2）直接写出（不需要给出演算步骤）函数g（x）=f(x)x-lnx（x＞12）的单调递增区间；（3）如果存在a∈（-∞，-1]，使函数h（x）=f（x）+f′（x），x∈[-1，b]，（b＞-1）在x=-1处取得最小值，试求b的最大值．

Answer 1

（1）由题意得：f′（x）=3ax²+2x-a在区间（1，2）内有不重复的零点，
故只需满足：f′（1）f′（2）＜0，即（3a+2-a）（12a+4-a）＜0，
∴-1＜a＜-

4

11

，
其值域为（-1，-

4

11

），从而a的取值范围为（-1，-

4

11

）；
（2）当a≤-

1

8

时，不存在增区间；
当-

1

8

＜a＜0时，增区间为（

?1+ 1+8a

4a

，

?1? 1+8a

4a

）；
当0≤a＜1时，增区间为（

2

1+ 1+8a

，+∞）；
当a≥1时，增区间为（

1

2

，+∞）；     
（3）h（x）=ax³+（3a+1）x²+（2-a）x-a，
据题意知，h（x）≥h（-1）在区间[-1，b]上恒成立，即
（x+1）[ax²+（2a+1）x+（1-3a）]≥0      ①
当x=-1时，不等式①恒成立；
当-1＜x≤b时，不等式①可化为 ax²+（2a+1）x+（1-3a）≥0   ②
令m（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），由于二次函数m（x）的图象是开口向下的抛物线，
故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得，又m（-1）=-4a＞0，
∴不等式②恒成立的充要条件是m（b）≥0，
即ab²+（2a+1）b+（1-3a）≥0，即

b2+2b?3

b+1

≤-

1

a

，
∵关于a的不等式在区间（-∞，-1]上有解，
∴

b2+2b?3

b+1

≤(?

1

a

)max，即

b2+2b?3

b+1

≤1，b²+b-4≤0，
解得：

?1? 17

2

≤b≤

?1+ 17

2

，又b＞-1，
故-1＜b≤

?1+ 17

2

，从而b的最大值为

?1+ 17

2

，
此时唯有a=-1符合题意．